Selbstlerneinheit Quadratwurzeln

Quadratwurzeln & Gleichungen

Arbeite die Module nacheinander durch oder nutze die freie Übungsstation.

⬛1. Quadratzahlen
🌱2. Die Quadratwurzel
📜3. Wurzelgesetze
⚖️4. Gleichungen \(x^2=a\)
🧠5. Vertiefung (AFB 2-3)
🏋️Übungsstation
🏁Abschlusstest (20 Aufg.)

Teil 1: Wiederholung Quadratzahlen

Quadrieren
Beim Quadrieren einer Zahl wird diese Zahl mit sich selbst multipliziert.
Beispiel: \(6^2 = 6 \cdot 6 = 36\).

Beispiele:

  • \(16^2 = 16 \cdot 16 = 256\)
  • \(0{,}9^2 = 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81\) (Verdopplung der Nachkommastellen)
  • \(\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}\)
  • \((-1{,}1)^2 = (-1{,}1) \cdot (-1{,}1) = 1{,}21\) (Quadrate sind immer positiv!)
Typische Fehlerquelle ⚠️
"Das Quadrat von \(-4\) ist \(-16\)." ➔ FALSCH!
Richtig ist: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = +16\). Es gibt keine reellen Quadrate mit negativem Ergebnis.

Lückentext-Übung

Beim Quadrieren wird eine Zahl mit multipliziert. Geometrisch entspricht dies der Berechnung des eines Quadrats. Quadriert man einen negativen Bruch, ist das Ergebnis stets .

Selbsttest

\(13^2 =\)
\(15^2 =\)
\(20^2 =\)
\(0{,}4^2 =\)
\(1{,}1^2 =\)
\((-7)^2 =\)
\(\left(\frac{2}{5}\right)^2 =\)
\(-(-3)^2 =\)
Selbsteinschätzung: Wie sicher fühlst du dich beim Quadrieren?

Teil 2: Die Quadratwurzel

Wissen: Quadratwurzel
Unter der Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl \(a\) (in Zeichen \(\sqrt{a}\)) versteht man diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt.
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand.

Wann ist die Wurzel definiert?

Die Quadratwurzel darf nur aus nichtnegativen Zahlen (\( \ge 0 \)) gezogen werden. Der Gesamtausdruck unter der Wurzel muss also positiv oder null sein.

Interaktive Übung: Ist der Ausdruck definiert?

Wähle aus, ob man den folgenden Ausdruck berechnen darf (links) oder nicht (rechts).

Systematik 1: Nullen und Nachkommastellen

Berechne die folgenden Wurzeln und achte auf das Muster der Nullen bzw. Nachkommastellen:

\(\sqrt{360000} =\)
\(\sqrt{36} =\)
\(\sqrt{0{,}36} =\)
\(\sqrt{0{,}0000000036} =\)
Überlegung: Warum geht \(\sqrt{3{,}6}\) nicht so glatt auf?
Erklärung: Beim Quadrieren verdoppelt sich die Anzahl der Nullen bzw. Nachkommastellen (z.B. \(0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\)). Daher muss eine Zahl, aus der man "glatt" die Wurzel ziehen kann, eine gerade Anzahl an Nullen oder Nachkommastellen haben! \(3{,}6\) hat nur eine Nachkommastelle.

Probiere es direkt an der Zahl 361 (\(19^2 = 361\)):

\(\sqrt{36100} =\)
\(\sqrt{3{,}61} =\)
\(\sqrt{0{,}0000000361} =\)

Systematik 2: Produkte und Brüche

Erkennst du hier das Muster?

\(\sqrt{4 \cdot 4} =\)
\(\sqrt{4 \cdot 9} =\)
\(\sqrt{4 \cdot 16} =\)
\(\sqrt{4 \cdot 25} =\)
\(\sqrt{\frac{9}{4}} =\)
\(\sqrt{\frac{9}{16}} =\)

Selbsttest: Gemischte Wurzeln

(Tippe "keine", falls nicht lösbar)

\(\sqrt{81} =\)
\(\sqrt{0{,}0049} =\)
\(\sqrt{\frac{144}{225}} =\)
\(\sqrt{12100} =\)
\(\sqrt{-36} =\)
\(\sqrt{101^2} =\)

Selbsteinschätzung: Habe ich das Wurzelziehen verstanden?

Teil 3: Wurzelgesetze & Teilweises Wurzelziehen

Wissen: Wurzelgesetze
Für alle nichtnegativen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt:
Produkte: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\)
Quotienten: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
Achtung: Summen & Differenzen! ⚠️
Max rechnet: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Falsch! Für Plus und Minus gibt es KEIN Wurzelgesetz. Richtig ist: Erst zusammenzählen: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).

Verständnis-Check (Multiauswahl)

Welche dieser Umformungen sind mathematisch richtig? (Mehrere Antworten möglich)

\(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{100} - \sqrt{36} = \sqrt{64} = 8\)
\(\frac{\sqrt{405}}{\sqrt{5}} = \sqrt{81} = 9\)
\(\sqrt{x^2 + y^2} = x + y\)

Selbsttest: Berechne bzw. vereinfache

a) \(\sqrt{0{,}02} \cdot \sqrt{32} =\)
b) \(\sqrt{147} : \sqrt{3} =\)
c) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} =\)
d) \(\sqrt{\frac{36}{49}} =\)
e) Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{50a^2} =\) \(a \cdot\) √
f) Fasse zusammen: \(\sqrt{28} + \sqrt{63} =\)
Zwischenschritt (teilweise Wurzeln): \(\cdot \sqrt{7}\) + \(\cdot \sqrt{7}\)
Endergebnis: \(\cdot \sqrt{7}\)
Selbsteinschätzung: Komme ich mit den Wurzelgesetzen klar?

Teil 4: Quadratische Gleichungen \(x^2 = a\)

Wissen: Lösungen von \(x^2 = a\)
Die Gleichung \(x^2 = a\) hat:
- für \(a > 0\) ZWEI Lösungen: \(x_1 = \sqrt{a}\) und \(x_2 = -\sqrt{a}\),
- für \(a = 0\) EINE Lösung: \(x = 0\),
- für \(a < 0\) KEINE Lösung in \(\mathbb{R}\).

Selbsttest: Lösungsmenge bestimmen

Trage die Lösungen ein. Wenn es zwei gibt, trage die kleinere (negative) zuerst ein. Wenn es keine gibt, trage in beide Felder "keine" ein.

a) \(x^2 = 25 \Rightarrow x_1 =\) , \(x_2 =\)
b) \(x^2 = -9 \Rightarrow x_1 =\) , \(x_2 =\)
c) \(x^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow x_1 =\) , \(x_2 =\)
d) \(2x^2 - 72 = 0 \Rightarrow x_1 =\) , \(x_2 =\)

Selbsteinschätzung: Kann ich Gleichungen lösen?

Teil 5: Vertiefung (Anforderungsbereich 2-3)

Hier musst du verschiedene Wurzelgesetze, binomische Formeln und algebraische Umformungen kombinieren.

Aufgabe 1: Binomische Formeln

Beispiel: Vereinfache \((\sqrt{8} - \sqrt{2})^2\)
Schritt 1 (2. Binom): \((\sqrt{8})^2 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)
Schritt 2: \(= 8 - 2 \cdot \sqrt{16} + 2\)
Ergebnis: \(= 10 - 2 \cdot 4 = 2\).

Rechne selbst (Ergänze die Lücken):

\((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \) \( - \) \( = \)

\((\sqrt{11} - \sqrt{4})(\sqrt{11} + \sqrt{4}) = \) \( - \) \( = \)

\((\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)
\( = \) \( + 2\sqrt{14} + \) \( = \) \( + 2\sqrt{14}\)

Aufgabe 2: Nenner rational machen

Um Brüche mit Wurzeln im Nenner umzuformen, erweitert man den Bruch geschickt mit der Wurzel. (Tipp: Nutze unten die "√() einfügen" Taste, falls das Wurzelzeichen benötigt wird!)

Beispiele:

  • \(\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\)
  • \(\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)

Rechne selbst: Mache den Nenner rational und vereinfache:

a) \(\frac{7}{\sqrt{7}} = \)
b) \(\frac{8}{\sqrt{2}} = \)
c) \(\frac{15}{\sqrt{3}} = \)

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