Arbeite die Module nacheinander durch oder nutze die freie Übungsstation.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Sie liegt dem rechten Winkel genau gegenüber.
Die beiden Katheten sind die kürzeren Seiten. Sie bilden zusammen den rechten Winkel.
Gegeben: \(a = 8\text{ cm}\), \(b = 15\text{ cm}\), \(\gamma = 90^\circ\). Gesucht: \(c\)
Rechnung:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(c^2 = (8)^2 + (15)^2\)
\(c^2 = 64 + 225 = 289 \quad |\sqrt{\quad}\)
\(c = \sqrt{289} = 17\text{ cm}\)
Prüfe das abgebildete Dreieck: Gilt hier der Satz des Pythagoras?
Falls ja, wähle anschließend den richtigen Zusammenhang für die erzeugten Seitennamen aus!
In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die längste Seite . Sie liegt dem rechten Winkel stets . Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der über den Katheten genauso groß ist wie die Fläche über der Hypotenuse.
Trage nur die Maßzahl ein (ohne Einheit). Runde ggf. auf eine Nachkommastelle.
Schon im Jahr 2300 v. Chr. nutzten ägyptische Landvermesser eine geschlossene Seilschlaufe mit 12 gleichmäßigen Knoten, um exakte rechte Winkel auf Feldern abzustecken.
Gegeben: \(a = 4\text{ cm}\), \(b = 5\text{ cm}\), \(c = 6\text{ cm}\).
Prüfung: Ist \(4^2 + 5^2 = 6^2\)?
\(16 + 25 = 41\). Aber \(6^2 = 36\).
Da \(41 \neq 36\) (\(41\) ist ungleich \(36\)), ist das Dreieck nicht rechtwinklig!
Achte darauf, dass die Gleichung immer so aufgebaut wird:
(Kürzere Seite)² + (Mittlere Seite)² = (Längste Seite)²
Prüfe mithilfe des Kehrsatzes des Pythagoras (\(a^2 + b^2 = c^2\)):
Besitzt das Dreieck einen rechten Winkel? Wenn ja, bei welchem Eckpunkt?
Tipp: Klicke direkt auf die Ecke im Dreieck oder nutze die Buttons darunter!
Rechne im Kopf oder auf Papier nach und wähle die rechtwinkligen Dreiecke aus.
Drei natürliche Zahlen, für die \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, nennt man Pythagoreisches Tripel. Ergänze die fehlende Zahl.
Die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse zerlegt diese in zwei Abschnitte, die man p und q nennt. Daraus lassen sich neue Gesetzmäßigkeiten ableiten.
Gegeben: \(p = 4.5\text{ cm}\), \(q = 2\text{ cm}\). Gesucht: \(h\)
\(h^2 = 4.5 \cdot 2 = 9 \implies h = \sqrt{9} = 3\text{ cm}\).
Gegeben: \(c = 1.6\text{ m}\), \(p = 0.4\text{ m}\). Gesucht: \(a\)
\(a^2 = 1.6 \cdot 0.4 = 0.64 \implies a = \sqrt{0.64} = 0.8\text{ m}\).
Berechne die gesuchten Größen (ohne Einheit):
Setze in den Kathetensatz ein: \(a^2 = c \cdot p\).
Also: \(6^2 = 10 \cdot p \implies 36 = 10 \cdot p\). Teile durch 10!
Der Satz des Pythagoras ist eines der wichtigsten mathematischen Werkzeuge im Alltag, Handwerk und Ingenieurwesen. Bearbeite die folgenden realitätsnahen Sachaufgaben Schritt für Schritt.
Smartphone-Displays werden international in Zoll angegeben (\(1\text{ Zoll} = 2{,}54\text{ cm}\)). Ein modernes Smartphone besitzt ein Display mit der Breite \(b = 7{,}2\text{ cm}\) und der Höhe \(h = 15{,}4\text{ cm}\).
Für den lokalen Skatepark soll eine Anlauframpe errichtet werden. Die Rampe besitzt eine senkrechte Stützhöhe von \(h = 1{,}80\text{ m}\) und eine ebene Standstrecke am Boden von \(l = 2{,}40\text{ m}\).
Ein symmetrisches Wohnhaus mit Satteldach ist \(10{,}0\text{ m}\) breit. Der Dachfirst befindet sich exakt in der Mitte und besitzt eine Giebelhöhe von \(h = 3{,}75\text{ m}\) über dem Dachboden.
Bei einem schweren Sommersturm knickte eine stolze \(15{,}0\text{ m}\) hohe Tanne um. Der untere Stammteil ragt senkrecht mit einer Höhe von \(h = 4{,}80\text{ m}\) empor. Die Baumspitze berührt den flachen Erdboden genau \(9{,}0\text{ m}\) vom Stamm entfernt.
Ein Glaser transportiert eine quadratische Einscheiben-Sicherheitsglasplatte mit den Abmessungen \(2{,}15\text{ m} \times 2{,}15\text{ m}\). Die Haustür hat eine lichte Öffnung von \(b = 0{,}90\text{ m}\) Breite und \(h = 2{,}05\text{ m}\) Höhe.
Anna möchte einen \(54\text{ cm}\) langen Stockschirm per Paketpost versenden. Ihr steht ein stabiler Karton mit den Innenmaßen Länge \(l = 40\text{ cm}\), Breite \(b = 30\text{ cm}\) und Höhe \(h = 25\text{ cm}\) zur Verfügung.
Die Drehleiter eines Löschfahrzeugs steht \(12{,}0\text{ m}\) von einer Hauswand entfernt. Sie wird auf eine Maximallänge von \(28{,}0\text{ m}\) ausgefahren.
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