Selbstlerneinheit: Terme & Rechengesetze

Variablen, Terme & Rechengesetze

Mathematik Klasse 8 – Schritt für Schritt mit Theorie, durchgerechneten Beispielen, interaktiven Übungen, Geometrie und Selbsttest.

🔤1. Variablen, Terme & Gesetze
➕➖2. Plus- & Minusklammern
✂️3. Distributivgesetz & Ausklammern
🔲4. Doppelklammern (Flächenmodell)
🎯5. Die 3 Binomischen Formeln
📐6. Geometrie, Gleichungen & Tom
🏋️Freie Übungsstation
🏁Abschlusstest (20 Aufgaben)

Teil 1: Variablen, Terme & Rechengesetze

Grundbegriffe:
• Eine Variable (z.B. \(x, y, a, b\)) ist ein Platzhalter für beliebige Zahlen aus dem Grundbereich.
• Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
• Die Art des Terms bestimmt sich immer nach der zuletzt ausgeführten Rechenoperation (Punkt vor Strich, Klammern zuerst).

Übersicht: Termarten

Term Letzte Rechenart Termart
\(3x + 4\)AdditionSumme
\(7 - 2y\)SubtraktionDifferenz
\(5 \cdot (x - 2)\)MultiplikationProdukt
\(\frac{4a + 1}{2}\)DivisionQuotient
\((x + 3)^2\)PotenzierenPotenz
Die drei fundamentalen Rechengesetze:
1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
Summanden und Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden:
\(a + b = b + a \quad\) und \(\quad a \cdot b = b \cdot a\)

2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):
Reine Additionen oder reine Multiplikationen dürfen beliebig geklammert werden:
\((a + b) + c = a + (b + c) \quad\) und \(\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
Verbindet Multiplikation mit Addition/Subtraktion:
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad\) und \(\quad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\)

Strategie 1: Vereinfachen von Produkten

In Produkten mit mehreren Faktoren kann man Koeffizienten (Zahlen) und Variablen nach Belieben vertauschen und zusammenfassen:

  • \(2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 0{,}1 = (2 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 0{,}1) = 10 \cdot 0{,}7 = \mathbf{7}\)
  • \(7a \cdot 5b = (7 \cdot 5) \cdot (a \cdot b) = \mathbf{35ab}\)
  • \(2 \cdot x \cdot y \cdot 3 \cdot x = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) \cdot y = \mathbf{6x^2y}\)
  • \(-(2a - 3a)^2 \cdot a^2 = -(-a)^2 \cdot a^2 = -(a^2) \cdot a^2 = \mathbf{-a^4}\)

Strategie 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Gleichartige Terme stimmen in ihren Variablen und deren Exponenten exakt überein! Nur die Koeffizienten (Zahlen davor) werden addiert oder subtrahiert.

Beispiel mit Farbkennzeichnung:
\(\mathbf{\textcolor{#2563eb}{4ab}} + \mathbf{\textcolor{#ea580c}{7ac}} - \mathbf{\textcolor{#ea580c}{5ac}} + \mathbf{\textcolor{#2563eb}{3ab}} + \mathbf{\textcolor{#059669}{6bc}}\)
\(= (\textcolor{#2563eb}{4ab + 3ab}) + (\textcolor{#ea580c}{7ac - 5ac}) + \textcolor{#059669}{6bc}\)
\(= \mathbf{\textcolor{#2563eb}{7ab} + \textcolor{#ea580c}{2ac} + \textcolor{#059669}{6bc}}\)
Typische Fehlerfalle ⚠️
• "\(3x + 2y = 5xy\)" ➔ FALSCH! Nicht gleichartig! Äpfel und Birnen kann man nicht zusammenzählen.
• "\(5x^2 + 2x = 7x^3\)" ➔ FALSCH! \(x^2\) und \(x\) haben verschiedene Exponenten und sind NICHT gleichartig!

Lückentext-Übung: Grundlagen

Das Vertauschen von Faktoren wie in \(3 \cdot x = x \cdot 3\) erlaubt das . Gleichartige Terme müssen in ihren Variablen und völlig übereinstimmen. Der Term \(5 \cdot (2x - 3)\) ist von seiner Struktur her ein .

Selbsttest Modul 1: Fasse so weit wie möglich zusammen

a) \(7{,}5x - 2{,}5x^2 - 2x =\)
b) \(5x^3 + 2x - 4 + x^3 - 3x =\)
c) \(4x^2y + 6xy^2 - 32xy^2 =\)
d) \(\frac{x}{2} - 3{,}5x + \frac{1}{4}x =\)
e) \(4a \cdot 6b \cdot 0{,}5 =\)
f) \(3x \cdot 4y \cdot 2x =\)
Selbsteinschätzung: Wie sicher fühlst du dich bei Termarten und gleichartigen Termen?

Teil 2: Plus- und Minusklammern

Wissen: Plus- und Minusklammern
1. Plusklammer: Steht ein \(+\) vor der Klammer, kann die Klammer einfach weggelassen werden. Die Vorzeichen im Inneren bleiben unverändert:
\(a + (b + c) = a + b + c \quad\) und \(\quad a + (b - c) = a + b - c\)

2. Minusklammer: Steht ein \(-\) vor der Klammer, drehen sich beim Weglassen der Klammer ALLE Vorzeichen und Rechenzeichen in der Klammer um:
\(a - (b + c) = a - b - c \quad\) und \(\quad a - (b - c) = a - b + c\)

Beispiele:

  • \(-8a + (5 - 3a) = -8a + 5 - 3a = \mathbf{-11a + 5}\)
  • \(5x^2 - (7x + 4) = \mathbf{5x^2 - 7x - 4}\)
  • \(12x - (5{,}5x + 18) + (9x + 4) = 12x - 5{,}5x - 18 + 9x + 4 = \mathbf{15{,}5x - 14}\)
Achtung: Minus vor der Klammer ⚠️
Schüler schreiben oft: \(10 - (2x - 5) = 10 - 2x - 5\).
FALSCH! Aus \(-(-5)\) wird \(+5\)!
Richtig: \(10 - (2x - 5) = 10 - 2x + 5 = \mathbf{15 - 2x}\).

Verschachtelte Klammern auflösen

Bei verschachtelten Klammern (runde und eckige Klammern) arbeitet man sich am sichersten von innen nach außen vor:

Beispiel 1:
\(8x - [12x + (13 - 7x)]\)
\(= 8x - [12x + 13 - 7x] \quad\) (Innere runde Klammer aufgelöst)
\(= 8x - [5x + 13] \quad\) (In der eckigen Klammer zusammengefasst)
\(= 8x - 5x - 13 \quad\) (Minusklammer aufgelöst: Zeichen drehen!)
\(= \mathbf{3x - 13}\)

Beispiel 2 (mit Brüchen):
\(-14y - [(2y + 1) - (9 - 2{,}5y)]\)
\(= -14y - [2y + 1 - 9 + 2{,}5y] \quad\) (Innere Minusklammer umgedreht!)
\(= -14y - [4{,}5y - 8]\)
\(= -14y - 4{,}5y + 8 = \mathbf{-18{,}5y + 8}\)

Verständnis-Check: Welche Umformung ist korrekt? (Mehrfachauswahl)

\(4a - (3a - b) = a + b\)
\(5 - (x + 2) = 3 + x\)
\(9x - (4 - 2x) = 11x - 4\)
\(-(a - b) = -a - b\)

Selbsttest Modul 2: Löse die Klammern auf und fasse zusammen

a) \(9a + (7a - 23 - a^2) =\)
b) \(12x - (5{,}5x + 18) + (9x + 4) =\)
c) \(8x - [12x + (13 - 7x)] =\)
d) \(-14y - [(2y + 1) - (9 - 2{,}5y)] =\)
Selbsteinschätzung: Sitzen die Plus- und Minusklammern?

Teil 3: Das Distributivgesetz – Ausmultiplizieren & Ausklammern

Wissen: Das Distributivgesetz
Ausmultiplizieren (Vorwärtsrichtung):
Der Faktor vor oder hinter der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert:
\(a \cdot (b + c) = ab + ac \quad\) und \(\quad a \cdot (b - c) = ab - ac\)

Ausklammern (Rückwärtsrichtung / Faktorisieren):
Kommt in allen Summanden derselbe Faktor vor, zieht man diesen vor die Klammer:
\(ab + ac = a \cdot (b + c) \quad\) und \(\quad ab - ac = a \cdot (b - c)\)

Beispiele Ausmultiplizieren:

  • \(-7x \cdot (5x + 8) = (-7x) \cdot 5x + (-7x) \cdot 8 = \mathbf{-35x^2 - 56x}\)
  • \(-3x^2 \cdot \left(4x + \frac{5}{12}\right) = -12x^3 - \frac{15}{12}x^2 = \mathbf{-12x^3 - \frac{5}{4}x^2}\)
  • \(3 \cdot (x - 3) + 9 = 3x - 9 + 9 = \mathbf{3x}\)

Beispiele Ausklammern:

  • \(6x^2 + 9xy = \mathbf{3x \cdot (2x + 3y)}\) (Größter gemeinsamer Teiler ist \(3x\))
  • \(10xy + 15x^2 = \mathbf{5x \cdot (2y + 3x)}\)
  • \(21a^3bc^2 - 7abc = \mathbf{7abc \cdot (3a^2c - 1)}\) (Achtung: Am Ende bleibt eine \(-1\) stehen!)
💡 Rechentricks im Kopf durch das Distributivgesetz
Das Distributivgesetz hilft enorm beim schnellen Kopfrechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen!

Aufgaben wie im Arbeitsblatt:

Ergänze die fehlenden Zahlen für den Rechenvorteil:

a) \(\left[(+3) + \left(-\frac{1}{4}\right)\right] \cdot\) \(= 24 - 2 =\)
b) \(\cdot 3 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-5) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot [3 + (-5)] =\)
c) \(\cdot 4{,}4 + 3{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}5 \cdot (4{,}4 + 3{,}6) = 0{,}5 \cdot\) \(=\)

Bruchterme kürzen durch Ausklammern

Die wichtigste Bruch-Regel der Algebra:
"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!"
Man darf niemals einzelne Summanden kürzen! Erst vollständig ausklammern, um ein Produkt zu erhalten. Dann gemeinsame Faktoren kürzen: \[ \frac{3a^4 - 6ab}{9a + 12a^2} = \frac{3a \cdot (a^3 - 2b)}{3a \cdot (3 + 4a)} = \mathbf{\frac{a^3 - 2b}{3 + 4a}} \]

Selbsttest Modul 3

a) Ausmultiplizieren: \(-2xy(x - y^2) =\)
b) Ausklammern: \(26k^2 - 4km + 30k^3 =\)
c) Ausklammern: \(42abc + 6bc^2 - 3b =\)
d) Kürze \(\frac{xyz + 4x^2z}{16x^2z - xz}\). Gekürzt:
Selbsteinschätzung: Kannst du sicher ausmultiplizieren und ausklammern?

Teil 4: Ausmultiplizieren von Summen (Doppelklammern)

Die goldene Regel: "Jeder mit Jedem"
Zwei Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert und die entstehenden Produkte addiert:
\[ (a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd \] Achte sorgfältig auf die Vorzeichen (\(+\cdot + = +\), \(-\cdot - = +\), \(+\cdot - = -\))!

Geometrische Bedeutung & Multiplikationstabelle

Man kann sich das Ausmultiplizieren wie die Flächenberechnung eines in vier Teilrechtecke zerlegten großen Rechtecks vorstellen:

Interaktive Tabelle: \((3x - 4) \cdot (2 + 0{,}5x)\)

Trage in jede Zelle das jeweilige Teilprodukt ein:

\(\cdot\) \(2\) \(0{,}5x\)
\(3x\)
\(-4\)

Fasse nun alle 4 Teilflächen zusammen:

Gesamtergebnis:

Weitere durchgerechnete Beispiele:

  • \((3 + x) \cdot (2 - x) = 6 - 3x + 2x - x^2 = \mathbf{6 - x - x^2}\)
  • \((5k - 7) \cdot (4k + 6) = 20k^2 + 30k - 28k - 42 = \mathbf{20k^2 + 2k - 42}\)
  • \(3(y - 1)(1 + y)y = 3(y^2 - 1)y = 3y(y^2 - 1) = \mathbf{3y^3 - 3y}\)
  • \(-(x - 1)(2 - 4a) = -(2x - 4ax - 2 + 4a) = \mathbf{-2x + 4ax + 2 - 4a}\)

Selbsttest Modul 4: Multipliziere aus und fasse zusammen

a) \((3x - 4y) \cdot (2x + 10) =\)
b) \((2{,}5 - z) \cdot (3z - z^4) =\)
c) \(\left(\frac{1}{3}p + 8q\right) \cdot (p + 20q) =\)
Selbsteinschätzung: Beherrschst du das Ausmultiplizieren von Doppelklammern?

Teil 5: Die drei Binomischen Formeln

Die 3 Binomischen Formeln im Überblick:
1. Binomische Formel (Plus-Formel):
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] 2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] 3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel):
\[ (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \]

Geometrische Bedeutung der 1. Binomischen Formel

Ein Quadrat mit der Seitenlänge \((2x + y)\) zerfällt in vier Teilflächen (Aufgabe 2b aus dem Arbeitsblatt):

4x² 2xy 2xy y² 2x y 2x y
\((2x + y)^2 = \mathbf{4x^2 + 4xy + y^2}\)

Blaues Quadrat: \((2x)^2 = 4x^2\) | Gelbe Rechtecke: \(2 \cdot (2xy) = 4xy\) | Rotes Quadrat: \(y^2\)

Typische Fehlerquelle Nummer 1 ⚠️
"Die Klammer wird einfach quadriert: \((a + b)^2 = a^2 + b^2\)." ➔ FATALER FEHLER!
Der doppelte Mischterm \(+2ab\) fehlt völlig!
Zahlenprobe: \((3 + 4)^2 = 7^2 = \mathbf{49}\). Aber: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = \mathbf{25} \neq 49\)!

Binomische Formeln rückwärts anwenden (Faktorisieren & Ergänzen)

Beim Faktorisieren verwandelt man eine Summe in ein Produkt:

  • \(x^2 + 14x + \mathbf{49} = \mathbf{(x + 7)^2}\) (Mischterm \(14x = 2 \cdot x \cdot 7 \implies b=7 \implies b^2=49\))
  • \(9a^2 - 60ab + \mathbf{100b^2} = \mathbf{(3a - 10b)^2}\) (Da \((3a)^2 = 9a^2\) und \(2 \cdot 3a \cdot 10b = 60ab\))
  • \(49e^2 - 81f^2 = \mathbf{(7e - 9f)(7e + 9f)}\) (3. Binomische Formel)
  • Kombiniert mit Ausklammern: \(2x^2 + 8xy + 8y^2 = 2 \cdot (x^2 + 4xy + 4y^2) = \mathbf{2 \cdot (x + 2y)^2}\)
  • \(0{,}25a^3 - 9ab^2 = a \cdot (0{,}25a^2 - 9b^2) = \mathbf{a \cdot (0{,}5a - 3b)(0{,}5a + 3b)}\)

Selbsttest Modul 5

a) \((3x + 5y)^2 =\)
b) \((2u - 4v)^2 =\)
c) \((3p + 2q)(3p - 2q) =\)
d) \(\left(\frac{a}{2} - b\right)^2 =\)
e) Faktorisieren: \(36a^2 - 60a + 25 =\)
f) Faktorisieren: \(81 - 4p^2 =\)
Selbsteinschätzung: Sitzen alle 3 Binomischen Formeln?

Teil 6: Anwendungen, Geometrie & Modellieren

1. Geometrische Figur (Treppenfigur – Aufgabe 4)

Die abgebildete Treppenfigur besteht aus drei Stufen. Die angegebenen Maße sind in Zentimetern (nicht maßstabsgetreu):

1 x 3 x x 1 Breite: 1 + 3 + x = 4 + x Höhe: 2x + 1

a) Gleichung für den Umfang \(U\):
Alle horizontalen Stufenkanten ergeben zusammen die Grundseite (\(1 + 3 + x = 4 + x\)).
Alle vertikalen Stufenkanten ergeben zusammen die linke Höhe (\(x + x + 1 = 2x + 1\)).
\(U = 2 \cdot (\text{Breite} + \text{Höhe}) = 2 \cdot ((4 + x) + (2x + 1)) = 2 \cdot (3x + 5) = \mathbf{6x + 10}\) (bzw. \(14 + 4x\) je nach Beschriftung).

b) Berechne \(x\), wenn der Umfang \(U = 22\text{ cm}\) beträgt: \(x =\)
c) Berechne den Flächeninhalt für \(x = 2\text{ cm}\): \(A =\)

2. Lineare Gleichungen mit Termumformungen lösen (Aufgabe 5)

Löse die Gleichungen, indem du zuerst Terme zusammenfasst oder Klammern auflöst:

a) \(-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}x = 0 \implies x =\)
b) \(-3x = 3x - 6 \implies x =\)
c) \(\frac{x}{2} - 1{,}5 = \frac{3x}{2} - 2 \implies x =\)
d) \(36a^2 - 9 = (6a - 3)(6a + 3)\). Welche Aussage stimmt?

3. Modellierungsaufgabe: Opas Geschenk für Tom (Aufgabe 6)

Ein großzügiger Opa möchte seinen klugen Enkel Tom beschenken. Tom bekommt die Sachen allerdings nur, wenn er das Rätsel des Opas vom Einkauf lösen kann:
"Ich kaufte eine Mütze, eine Hose, die dreimal so viel kostet wie die Mütze, und ein T-Shirt, das halb so viel wie die Hose kostet. Außerdem noch ein Kickboard, das so viel kostet wie die Hose, die Mütze und das T-Shirt zusammen. Für alles zusammen habe ich das 9,5-fache der Mütze und zusätzlich 30 € bezahlt."

Schritt 1: Terme mit einer einzigen Variablen \(m\) (Preis der Mütze in €) aufstellen:
• Mütze: \(m\)
• Hose (dreimal so viel): \(3m\)
• T-Shirt (halb so viel wie Hose): \(\frac{1}{2} \cdot 3m = 1{,}5m\)
• Kickboard (Mütze + Hose + T-Shirt): \(m + 3m + 1{,}5m = \mathbf{5{,}5m}\)
• Gesamtsumme aller 4 Teile: \(m + 3m + 1{,}5m + 5{,}5m = \mathbf{11m}\)

Schritt 2: Gleichung mit der Bedingung des Opas aufstellen:
\[ 11m = 9{,}5m + 30 \] \[ 1{,}5m = 30 \implies m = \mathbf{20\text{ €}} \]

Trage die errechneten Einzelpreise ein:

Mütze:
€
Hose:
€
T-Shirt:
€
Kickboard:
€
Gesamtkosten Opa:
€
Glückwunsch! Du hast alle 6 Module durchgearbeitet.
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